Funktion f
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Minimale Höhe
Für die minimale Höhe werden zunächst die Extrempunkte der Funktion \(f\) berechnet.
\(\\[1em]\)
Notwendige Bedingung
Es gilt: \(f'(x) \; = \; 0\)
\( \quad \begin{array}{ r c l } f'(x) & = & -0{,}03x^2 + 0{,}42x - 1{,}2 \\[8pt] 0 & = & -0{,}03x^2 + 0{,}42x - 1{,}2 \\ \end{array} \)
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Diese Gleichung können wir mit dem CASIO fx-991DE X lösen oder auch mit der PQ-Formel. Da sie scheinbar gut aufgeht, wähle ich den zweiten Weg.
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & -0{,}03x^2 + 0{,}42x - 1{,}2 & | \, : -0{,}03 \\[6pt] 0 & = & x^2 - 14x + 40 \\[12pt] x_{1,2} & = & -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[8pt] & \Rightarrow & p=-14 \; , \; q=40 \\[12pt] x_{1,2} & = & -\frac{-14}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-14}{2}\right)^2-40}\\[8pt] x_{1,2} & = & 7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 40} \\[8pt] x_{1,2} & = & 7 \pm \sqrt{9} \\[8pt] x_{1,2} & = & 7 \pm 3 \\[6pt] x_1 & = & 4 \\[6pt] x_2 & = & 10 \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Hinreichende Bedingung
\( \quad \begin{array}{ r c l c r c l } f''(x) & \not= & 0 \\[12pt] f''(x) & = & -0{,}06x + 0{,}42 \\[12pt] f''(4) & = & -0{,}06 \cdot 4 + 0{,}42 & = & 0{,}18 > 0 & \Rightarrow & \text{Tiefpunkt}\\[8pt] f''(10) & = & -0{,}06 \cdot 10 + 0{,}42 & = & -0{,}18 < 0 & \Rightarrow & \text{Hochpunkt}\\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Höhe der Fahrbahn
Links vom Tiefpunkt, also für alle \(x<4\), ist der Graph streng monoton fallend und rechts davon mit \(x>4\) ist der Graph streng monoton steigend. Folglich liegt die minimale Höhe der Fahrbahn bei \(x=4\). Die Höhe berechnet sich mit
\( \quad \begin{array}{ r c l c l } f(4) & = & -0{,}01 \cdot 4^3 + 0{,}21 \cdot 4^2 - 1{,}2 \cdot 4 + 3 & = & 0{,}92 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die minimale Höhe der Fahrbahn beträgt \(92 \, cm\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Maximale Steigung
Wie bereits festgestellt, ist die Fahrbahn nur zwischen dem Tiefpunkt und dem Hochpunkt, also in dem Intervall \([4 ; 10]\), steigend. Die größte Steigung liegt im Wendepunkt, denn vom Tiefpunkt an nimmt die Steigung bis zum Wendepunkt ständig zu und verringert sich von dort an bis zum Hochpunkt.
\(\\[1em]\)
Wendepunkt
Notwendige Bedingung
Es gilt: \(f''(x) \; = \; 0\)
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 0 & = & -0{,}06x + 0{,}42 & | \, +0{,}06x \\[6pt] 0{,}06x & = & 0{,}42 & | \, :0{,}06x \\[6pt] x & = & 7 \\ \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Hinreichende Bedingung
\( \quad \begin{array}{ r c l c r c l } f'''(x) & \not= & 0 \\[12pt] f'''(x) & = & -0{,}06 \\[8pt] f'''(7) & = & -0{,}06& \not= & 0 & \Rightarrow & \text{Wendepunkt}\\ \end{array} \)
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\(\\[1em]\)
Steigung
-
Steigung im Wendepunkt
\(\quad \begin{array}{ r c l c l } f'(7) & = & -0{,}03 \cdot 7^2 + 0{,}42 \cdot 7 - 1{,}2 & = & 0{,}27 \end{array} \)
\(\\\)
-
Steigung am Rand
Bei einen Abschnitt einer Funktion, hier wird das Intervall \([0 ; 10]\) betrachtet, müssen die Ränder überprüft werden.
\(\quad \begin{array}{ r c c c l } f'(0) & = & -0{,}03 \cdot 0^2 + 0{,}42 \cdot 0 - 1{,}2 & = & - 1{,}2 \\[5pt] f'(10) & = & -0{,}03 \cdot 10^2 + 0{,}42 \cdot 10 - 1{,}2 & = & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Die maximale Steigung der Fahrbahn liegt im Wendepunkt und beträgt \(27\%\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Länge des Fahrbahnabschnitts
\( \quad \begin{array}{ r c l } l & = & \displaystyle{\int}_a^b \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2} \\[12pt] & = & \displaystyle{\int}_0^{10} \sqrt{1 + \left( -0{,}03x^2 + 0{,}42x - 1{,}2 \right)^2} dx \\[10pt] & = & 10{,}79 \\ \end{array} \)
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Der erste Fahrbahnabschnitt ist \(10{,}79 \, m\) lang.
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